八年级下册数学二次根式知识点辅导

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八年级数学辅导讲义

（下册）

主编：李启勇

审定：金榜教育中学数学教研室

六安金榜辅导学校中学数学教研室组编

014年月

第16章二次根式

二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。

需注意，关于二次根式的概念存在着两个关键要点，一方面，从其呈现的形式角度而言，应当是包含有二次根号的，另一方面，其被开方数是怎样的呢。

数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

22

请你明确一下问题哦，比如对这段内容进行何种具体要求的改写贝语网校，目前不太清楚具体要怎么改写这段话。或者可以补充完整准确的原始句子及具体改写方向等信息。

根式的是

填（序号）.

例2使市+、/专有意义的x的取值范围是（）

A.x0B.xWC.xD.x0且xW.

例3若y=Jx-5+j5-x+009,则x+y=

练习1使代数式正三有意义的x的取值范围是（）

x-4

A、x3B、x3C、x4D、x3且xW4

练习若灯-二7=x（+»,则x—y的值为（）

A.-1B.1C.D.3

例4右/_|+Jz?-3=0,贝J（

ci~—b—o

例5在实数的范围内分解因式：X-4X+4=

例6若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）：

A、R；B、a（W）=a+b；

C、-H\/b）Ja+b；Dyja（—b）=a—b；

二次根式具有这样一种性质：有个特点叫做其中二次根式具有非负性，也就是根号下的数（a大于等于0），它存在这样一种情况，即该二次根式的最小值是0。

也就是说石（a0）是一个非负数，即石之0a（）。

注，由于二次根式，以及（。“）它代表着a的算术平方根，并且正数的算术平方根是正数，还有0。

不太明确你提供内容中一些表述的本来意思，比如“（。之）”“及之0（。之0）”等，不太能按照准确要求进行改写，请你检查或进一步明确一下内容。

这一性质，确切来讲是非负数算术平方根所具备的性质，它与绝对值、偶次方存在相似之处，此性质于解题时。

回答题目之际应用较为多些，要是点加上而其结果等于0，那么a等于0，b等于0；要是点加上圆其结果等于°，那么a等于0，b等于0；要是4加上/其结果等于。

则a=0,b=0o

（）而（:a«（0）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方于这个非负数。

请注意，二次根式具备这样的性质公式6，即（）等于，其中（。大于0）乃是通过逆用平方根的定义进而得出的结论，上面所提及的。

公式也可以反过来应用：若贝胆=疝（如：=0（匕5

々(白)0)

=W=

(3)-a(aCO)

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根于这个数的绝对值。

注意，在进行化简疗的时候，必须要确切地搞清楚，被开方数当中的底数a究竟是正数还是负数，倘若它是正数或者0。

就等同于a自身，也就是等于相同的等于。（0）；要是a为负数，那就等于a的相反数-a，亦即。

二|以|=一《白（0）.

在万中，a的取值范围涵盖任意实数范畴，换句话讲，也就是说不管a选取什么样的值，其相应的值必定一定是有意义的。

3、化简历时，先将它化成同，再根据绝对值的意义来进行化简。

4（）疝（，及右的异同点

不同点在于，向（2所表达的意思跟另一种意义不一样，疝（2它指的是，一个正数a的算术平方根的平方。

你提供的内容似乎不太完整且表述有些混乱，不太能完全理解准确意图，不太能按照要求进行改写。请你检查补充完整准确清晰的数据及完整句子后再让我处理。

的结果是有差别的，而（）=g之°），而

请你明确一下问题哦，你提供的内容似乎不完整且表述混乱，不太清楚具体要改写什么或进一步说明怎样的要求，以便我能更准确地为你改写。

4^=一乙

例7a、b、c为三角形的三条边，则J.（+b-c）2,

将例8之中二倍的负x、x的根号外面存在的二倍的负x进行适当的变形之后把它挪动到根号的里头，得出的结果是（）

Vx-2_________________

____________a___0

A、-xB、Jx-2C、—V2—xD、—Jx-2

例9若二次根式不有意义，化简|x-4|-|7-x|

已知，x、y属于实数范畴，并且，满足这样的情况，y等于Rx减去676减去x再加上1，试着去求，9x减去2y的值。

例11若实数a满足R+a=0,则有（

A.a0B.a20C.a0D.aWO

例12下列命题中，正确的是（

A.若ab,则/y/bB.若,a,贝!Ja0

C.若|a|=乖（尸，则a=b2

D.若a=b,则a是b的平方根

例13质是整数，则正整数〃的最小值是（）

A、4；B、5；C、6；D、7.

用于示例十四的那个实数a、于数轴之上所处的位置呈现出如图所示的样子，那么对于那个被表述为卜-4-J混的式子，其最终所得到的结果究竟会是什么呢？

例15已矢口已知a贝

aa

当16a等于0的时候，有这样一种情况，存在行、心不、-行这几种情形，对它们各自的结果进行比较，在下面给出的四个选项当中，正确的那个是。

().

A.V?=J(_aA，-7?B.7^〉J(-aA

C.-y(-«)\

a^D.-)\

^=

-a)。

例17若0cxVI,贝I

,—》2+4_J(x+32—4等于()

(A)-(B)--(C)一2才(D)2x

XX

（提示），（x减去1）的平方加上4等于（点点与2），（x加上_L）的平方减去4等于（x减去_J_）的平方。又因为，0小于x小于1。

XXXX

：.x+，0,x--0.【答案】D.

xX

【点评】四年级下册数学辅导，本题，考查，完全平方公式，和二次根式的性质，(A)，不正确，是因为，用性质时。

没有注意当OVxVl时，^--0.

若把1减去x的绝对值，减去根号下x的平方减去8x加上16，结果等于2x减去5，那么x的取值范围是多少呢？

A.xlB.x4C.1WXW4D.以上都不对

练习4若时，则|1—»/乒=

练习5若5»3d,则10x+2y的平方根为

练习6若无=-3,则卜一厢同等于()

A.1；B—1；C3；D—3

练习7已知龙=g,化简J(X-2)2+=-4|的结果是.

练习8若五一3+J3-+2=y试求炉•的值

练习9已知J2x-l+Jl-2x=2a+4,求a的值

练习10若Jx_y+y2_4y+4=0,求孙的值

专题二二次根式的乘除

【知识点1】二次根式的乘法法则：^-4b=y

Zba0,b0)得出：二次根式相乘，把

把被开方数当成相乘的情况，并且根号保持不变，将上面所提到的公式朝着相反的方向去运用，就能够得到：贏=«瓜—积。

的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积

例1化简：（1），64村3a20,y20）=；

2（）+一一心（0,心0）=.

⑷a（-1）——-=____

Va—\

练习1化简二次根式斤所得（)

A.-573B.5GC.±5百D.30

例2下列各式中不成立的是（)

22

D.函+0)(遥-0)=4

练习2下列各式中化简正确的是()

A.yjab=abB./4x=-4x

24

C.JR；卜2y=3*6D.\l5ab，+b“=bY5a+l

例3计算

例4若b0,x0,化简：-值

【知识点2】二次根式进行除法运算时，具有这样的一种情况，一般而言，是对于二次根式的除法作出了相应规定。

“噂”等于“祗（20法〉0）”，商的算术平方根，是被除式的算术平方根，除以除式的算术平方根。

即、口=ga（N0,b0）.

对于分母有理化二次根式的除法运算而言，一般是运用化去分母当中根号的方式来予以开展的，加以注明，就是这样子的情况。

的分母有理化：

（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化

（2）关键:

把子、母都乘一个适的式子化分母中的号。

分分以当，去根

例53+6的有理化因式是；x-6的有理因式

化是

-Jx+1-Ox1的有理化式是.

-因

例6若,6-4板的整数部分为a,小数部分为b。求a+?的值

3已万-1的部分为a,小数部分为b,求（+扉。+1）值

练习知整数试而的

n0)

(a0)

知识点］同次根式：1）被开数不含分；（2被开放数中不含开

【3类二（放母）得尽

方的因数或因式。

例8下列二次根式中，最简二次根式是（）

(A712(B)而(C)栏(D)历^

9已知〉,化二次根层的正确果为

例孙0简式六结

例10设=2-V,=V-2,贝ia、b、c的大小关系是

b3c5j

练习4如果甘y0）二根，化最简二次根式是（.

（是次式为）

AB.再丫°)C.(y0)

.工(y0)(叵

D.以上都对

Jyy

练习5化二根生安结果是

简次式-的

AJ-—2B、-J—c—2C-2D~\la-2

、ai

练习6下列二次根式中，最简二次根式是（）

.B.7a+C.4aD.Ja2

A1Jbb

专题三二次根式的加减

【知识点 1】：同类二次根式，是指几个二次根式，在化成最简二次根式之后，倘若被开方数。

相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。.

同类二次根式及同类项的异同：一.相同点：

1.两者均为两个代数式之间的一种关系，同类项属于两个单项间的关系，涉及字母以及。

同类二次根式是两个二次根式之间的关系，是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，且相同字母的指数都相同。

简二次根式后被开方数相同的二次根式。

2.这两者都具备能够合并的特性，并且其合并所依据的法则是相同的。我们要是针对最简二次根式的根号部分。

将被视作同类项的字母以及指数部分，把根号外面的因式当作是同类项的系数部分，那样。

同类二次根式的合并法则，跟同类项的合并法则是一样的，也就是“同类二次根式（或者同”。

类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。

二.不同点：

1.判断准则不同。

判定两个最简二次根式是不是同类二次根式，它的依据是，被开方数是不是相同。

与根号外面的因式没有关联，而同类项的判定依据是，“字母因式以及其指数是不是对应一样”。

及系数无关。

2.合并形式不同

你提供的内容似乎不太清晰准确，可能存在一些混淆或错误信息，不太能按照要求进行改写，请你检查并明确一下正确内容后再提问。

33av8

的有______

3b及根式,2必2+6/是同类二次根式,求a、b的值.

例2若最简根式3弋垢+

练习1下列二次根式中及后是同类二次根式的是（）.

A.V12B.C.D.V18

按照要求改写后句子变得不知所云：习题二倘若为最简二次根式，标明的工以及另外的炳二而成为同类二次根式，去求m、n的数值，标点处、。

【知识点2】二次根式进行加减运算时，能够先把二次根式转化成最简的二次根式，用于后续计算。

根式，再将被开放数相同的根式进行合并。

例3(1)g(屈+乎)+后(2)3A/90+^1-4^

(3)y

2x-4^+2^12xy(xO,yQ)

你的内容似乎不太完整或有讹误，不太明确具体需求。请补充完整准确信息后再让我进行改写。

知识点3所涉及的，是二次根式的混合运算，其运算顺序，以及整式的混合运算顺序。

一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

例5计算⑴⑵丁展邛*

⑶xG-yGyG+x6

Xy

y+y4xy\

x-Xy/y

若x、y属于实数范畴，并且y等于根号下1减去4x加上根号下4x减去1再加上二分之一，求取x减2的绝对值加上y的值。

xNyx

仁图你能求出”的值吗?

【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？［

x=­

:2

x=-.当x=-时，y--

442

2VL

yX

;时,

把原式等于星号等于点拿来点评，解本题的关键在于，借助二次根式的意义，求出X的值。

例7已知x=»芈，尸•二£，求―^举一『的值.

43223

V3-V2V3+V2xy+2xy+xy

首先，要化简已知条件，接着去化简分式，最后把化简好的已知条件代入进行求值。

【解】x=今卷=(6+0)2=5+2新，

V3-V2

y=乎二f=(6二)2=52L.

V3+V2

你提供的内容似乎存在错误信息且逻辑混乱，不太能按照要求准确改写。请检查并修正内容后再让我进行改写。

【点评】把本题当中的x、y进行化简之后，依据解题所需，先是分别求出“x+y”，接着再分别求出“x-y”。

“灯”.从而使求值的过程更简捷.

例8需先进行化简操作，之后再去求值，式子为负x的49倍x减去2倍x乘以1的负次方加上6倍x的负次方，其中x等于4。

3VxV4

例9，已知，、人是实数，并且满足，a等于g加上g再加2，求点，、陛三的这样的值。

Va+b

第17章一元二次方程

第18章勾股定理

一：勾股定理

(1)对于任意一个直角三角形，它存在这样的情况，其两条直角边分别是a、b，斜边是c，那么必定。

有/+。2=。2

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

(2)结论：

存在一个直角三角形，其中有一个角是30°，该30°角所对的直角边，其长度等于斜边长度的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

(3)勾股定理的验证

例题：

例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

(1)在RtaABC中，ZC=90°

①若a=5,b=12,则c=；

②若a=15,c=25,则b=；

③若c=61,b=60,则a=；

④若a：b=3：4,c=10贝J！RtAABC的面积是=。

(2)要是直角三角形之中，两直角边的长度分别是M减去l，以及2n，且n大于l，那么它的斜边长度是（）

22

A、2nB、n+1C、n—1Dn+1

(3)对于直角三角形中的\(RTZ^ABC\)，其三条边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，那么下列给出的那种关联却是正确的呢（）

122222

A.a+b=cB.a+c=h

222

C.c+b^aD.以上都有可能

(4)有一个直角三角形，它其中的两条边长。分别为3与4。那么第三边长的平方是多少。

A、25B、14C、7D、7或25

已知道直角三角形的一条边，以及另外两条边存在某些固定关系，借助勾股定理去求解周长、面积等相关问题。

(1)直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为o

22

AN24cmB、36cmC、48c/D、60c/

222

(3)已知，x是正数，y也是正数，并且四年级下册数学辅导，绝对值符号内X减4的结果，加上括号里y减3等于0，如果，以x的长度作为直角边，再把y的长度作为直角边，去作一个。

直角三角形，那么存在这样一个正方形，其边长是以该直角三角形的斜边为长度，这个正方形的面积是多少呢()。

A、5B、25C、7D、15

例3：探索勾股定理的证明

有四个全等的三角形，其斜边是c，两条直角边的长度分别是a和b，它们被拼在一起形成了如图所示的五边形，利用。

用这个图形证明勾股定理。

二：勾股定理的逆定理

(1)如果，三角形的，三边长，分别为a、b、c，存在着这样的关系即a的平方加上b的平方等于c的平方，那么，这个。（你提供的内容似乎不完整，请补充完整以便准确改写）

三角形是直角三角形。

(2)常见的勾股数是这样的，有(3n,4n,5n)，还有(5n,12n,13n)，也有(8n,15n,17n)，另外还有(7n,24n,25n)。

(9n,40n,41n).(n为正整数)

(3)直角三角形的判定方法：

222

①要是三角形三边的长度分别是a、b、c，存在着a加上b等于c这种关系，那这个三角形就是直角三角形。

②有一个角是直角的三角形是直角三角形。

③两内角互余的三角形是直角三角形。

④要是一个三角形的某一条边上所具备的中线，其长度恰好等同于这条边自身长度的一半，那么这种情况下这个三角形就是直角三角形。