江苏扬州2026届高三首次调研数学卷结构特点及典型题评析

江苏的扬州市，针对2026届高三，进行时一份数 学学试卷的评析，该试卷整体的结构，以及其特点，结构的设计是合理的。

试卷采用新高考标准结构：

知识点分布呈现出全面且均衡的态势，试卷特点特别鲜明，以核心素养为导向，着重强调数学抽象、逻辑推理以及数学建模等核心素养，像第14题对新的取整函数概念作出了定义。其应用背景极为丰富，第16题结合App用户增长数据，对样本相关系数和概率分布展开考查，充分体现了数学应用价值。在题型设计方面具备创新性，第14题引入新的函数定义以及{x}，以此考查学生理解新定义、应用新知识的能力。难度梯度十分明显，选择题是从容易逐渐过渡到困难，解答题层层深入推进，尤其是压轴题第19题，三个小问的难度是逐步提升的。在意思维进程：好多道题目（就像第18、19题那般）不但计较结果，更着重解题的思路以及方法，展现出数学思维的关键意义。典型题目的深度剖析：第19题（双曲线综合题）题目的内容。

已知有这样一个双曲线，其方程为x²/a² - y²/b² = 1 ，这里a大于0 ，b大于0 ，在这个双曲线上有一点A ，该点坐标为(-1,0) ，从点A分别作两条渐近线的垂线 ，得到垂足分别是D和E ，并且|AD·AE|的值等于3/4。

(1) 求双曲线方程；

把过点B(m,0)，这里m大于a，的直线延长，使其与双曲线右支相交，得到P、Q两点，接着连接AP、AQ，再让直线x=n，这里m大于n，与AP、AQ分别相交，得到M、N两点，此时∠MBN等于90°。

(i) 若m=2，求n的值；

(ii) 求n的最小值。

题源与命题背景

这道题目来源于解析几何里对双曲线的深度探究，它属于高考数学里的经典并且是压轴的题型，其命题的思路融合了高等几何方面的双曲线不变量理论，不过是在高中知识的框架范围之内进行巧妙设计的，这种类型的题目常常出现在江苏高考数学的压轴题目里，同时也在全国高中数学联赛的试题中出现，具备很高的学术价值以及选拔功能。

考点分析双曲线基本性质，其中包括渐近线方程、离心率，这是第1问；点到直线距离公式，用于计算垂线长度；向量垂直条件，即∠MBN = 90°转化为向量数量积为零，这是第2问；直线与圆锥曲线位置关系，需联立方程求交点；韦达定理的应用，可简化复杂计算；参数方程与消参，用于处理含参问题；函数最值问题，涉及导数在求最值中的应用，这是第2(ii)问；还有代数变形与化简能力，针对复杂的代数运算。难度评析解题思路剖析第(1)问，利用点A(-1,0)到双曲线渐近线的距离关系，双曲线渐近线方程为bx ± ay = 0，A点到两渐近线距离乘积为a²b²/c²，通过|AD·AE| = 3/4得出a² = 1，再利用双曲线性质得到b = 1，c = 2，双曲线方程为x² - y² = 1。第(2)(i)问，当m = 2时设PQ直线方程x = ty + 2一流范文网，与双曲线联立，利用韦达定理得到y₁ + y₂和y₁y₂，求出AP、AQ方程，令x = n得M、N坐标，∠MBN = 90°转化为向量BM·BN = 0，通过代数化简得到(m - n)² = (m - 1)(n + 1)²/(m + 1)，代入m = 2，解得n = 7 - 3√3/2。第(2)(ii)问，求n的最小值，由(m - n)²/(n + 1)² = (m - 1)/(m + 1)，令p = (m - 1)/(m + 1)，0。

利用p来表示n，从而得到n等于(3p - p²)除以(1 - p²)，据此构造函数f(p)等于 - p³减去p²加上p再加上1，这里0小于p小于1。

进行求导分析，通过对f(p)在(0,1/3)这个区间呈现递增态势，以及在(1/3,1)这个区间呈现递减态势的情况分析江苏高考试题，从而求得n的最小值为4/3，关于其中涉及到的教学价值以及备考所给出的建议。

教学价值：

着重培育学生，使其具备综合运用解析几何知识的能力，着力训练复杂代数运算技巧，全力提升几何条件代数转化的能力，大力强化运用函数思想解决最值问题的策略。

备考建议：

巩固圆锥曲线基本性质的领会与运用，娴熟把握韦达定理于解析几何的运用，提升复杂代数式化简本领，着重几何条件与代数表达的转化训练，关注试题创新性。

该题把双曲线的几何性质，也就是渐近线、垂线与之相结合，借助代数计算，即韦达定理、函数最值，巧妙的进行结合，既考查基础知识，同时又要求学生具备较强的综合能力。特别是第(2)(ii)问，要构造函数，还要分析其单调性，体现了高等数学思想在高中数学里的渗透。这种设计不仅确保了题目的区分度，还展现了数学的内在美与严谨性。

总体评价

江苏扬州市的这样子一份高三调研试卷，其质量是上乘的，它既重视着基础知识，又强调着能力培养，充分地体现出了新高考改革方向，试卷的难度梯度是合理的，知识点分布是均衡的，尤其是压轴题的设计是巧妙的，具有较高的学术价值以及选拔功能，试题注重数学本质，去减少机械计算，增加思维含量，对高三复习备考有着极强的指导意义。

建议学子于后续复习之际江苏高考试题，一方面要扎实稳固基础学问，另一方面要着重留意提升数学思维本领，尤其是针对逻辑推理、问题转换以及创新思维能力的培育。与此同时，应当强化对数学应用意识的培育，学会运用数学眼光去观察现实世界，使用数学思维去思索现实问题，凭借数学语言去表述现实情境。