两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导及应用教案

三角函数恒等变换教案(1)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标

理解基于两角差的余弦公式，将其用于推导两角和、差正弦以及正切公式这样一种大学网所涉及的方法，体会三角恒等变换呈现特点的过程之时，透彻理解推导过程，进而掌握其应用领域 二、教学之中重点以及难点存在之处。

1. 教学重点：推导两角和、差的正弦与正切公式的进程以及对其进行施用；2. 教学难点：灵活运用两角和与差的正弦、余弦以及正切公式。三、学法与教学用具 学法：采用研讨式教学 四、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：

这个是两角和跟差的余弦公式，接下来各位思索一下，两角和同差的正弦公式是什么模样的呢？

第一章里，我们借助诱导公式五，或者诱导公式六，能够达成正弦与余弦之间的相互转化，那么，这对于我们去处理今天所面临的问题，有没有起到帮助作用呢？

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.

使学生经过仔细全面的观察去认识两角和与差正弦公式所具备的特征，随后对两角和与差正切公式开始进行富有深度的思考，（学生亲自施行动作）。

上面我们获取到了两角和的正切公式，我们可不可以推导出两角差的正切公式呢？

（二）例题讲解

例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

27iss2o4c2s7onc24is（1）、n

s2oc07socn02ni07sis；（2）、0

；（3）、

1n51a?t

1n51a?t

解答：剖析：解答这种类型的题目，第一步要先掌握观察的方法，瞧瞧题目里面给出的式子，跟我们学习的知识中所涉及的两角和与差的正弦、余弦以及正切公式中的哪一个比较相像。

好的，请你提供一下原句的中文内容，以便我按照要求进行改写。

； 2

（3）、

0n6at?335

例3

xx

剖析：这道题目，和我们之前所学习的两角和以及差正弦、余弦还有正切公式，它并不是很相似，然而，我们是不是能够找出其中的规律？

思考：?正、余弦分别等于和

小结，本节，我们，学习了，两角和，与差，正弦，余弦，和正切，公式，我们，要，熟记，公式，在，解题过程中，要，善于，发现，规律，学会，灵活，运用，作业。

22

值．

二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标

基于两角和的正弦、余弦以及正切公式作为根基，去推导二倍角的正弦、余弦以及正切公式，透彻地领会推导的进程，熟练地掌握其实际应用。二、关于教学方面的重点以及难点有哪些。

教学重点在于，以两角和的正弦公式为根基，推导二倍角正弦公式，以两角和的余弦公式为基础，推导二倍角余弦公式，以两角和的正切公式为依据，推导二倍角正切公式。

需要理解的教学难点，是二倍角，以及要能够灵活运用它。三、关于学法与教学用具，学法是采用研讨式教学。四、给出教学设想且有相关内容：

在进行复习式导入时，大家要先去回顾一下，关于两角和的正弦公式，关于两角和的余弦公式，关于两角和的正切公式。

我们从这里能不能得出sin2?，cos2?，tan2?的公式呀？（让学生自己去动手，把上述公式当中的?看作是?就行）， （二）公式的推导：

（三）例题讲解 例4、已知sin2??

求正弦4倍角,余弦4倍角,正切4倍角的值，1342。

512

120

cos4?119?13?169

169

例5、已知tan2??,求tan?的值． 解：tan2??

2tan?12

，由此得2

13

一节里，我们学了二倍角的正弦公式，还有二倍角的余弦公式，以及二倍角的正切公式，这些公式我们得牢牢记住，在解答题目时，要善于找到其中规律，学会灵活地去运用它们。

例6、试以cos?表示sin2,cos2,tan2

解释一下，我们能够借助二倍角，cos等于2倍cos2，由于cos等于1减去2倍sin2，鉴于cos等于2倍cos2。

来做此题．

，可以得到sin2

． 2

?1，可以得到cos2

又因为tan2

sin2

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换常常着重于式子结构形式的转变，对于三角变换而言，因为不同的三角函数式不但会存在结构形式方面的不同，而且还会有式子所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的不同，所以三角恒等变换通常首先探寻式子所包含的各个角之间的关联，这是三角式恒等变换的关键特性。 例7、求证：

cos

2cos

思考：在例２证明中用到哪些数学思想？

表明在证明期间运用了换元想法，（１）式呈现为积化和差的形态，（２）式展现为和差化积的样式，于后续的练习里面存在六个涉及积化和差、和差化积的公式． 例 8。

、求函数y?sinxx的周期，最大值和最小值．

解：y?sinx

x这种形式我们在前面见过，

所以，所求的周期T?

?2?，最大值为２，最小值为?2．

点评：例３属于三角恒等变换于数学方面应用的举例，它致使三角函数里针对函数。

对Y等于A乘以正弦括号欧米伽X加初相的性质所进行研究呈现出得到延伸这种情况，其展现了三角变换于化简三角函数式方面。

中的作用．

此节小结，虽仅安排一至两个课时的时长，然而却是相当关键的内容，我们得对变换进程所展现的诸如换元、逆向运用公式等数学思想方法予以加深认知，进而学会灵活地加以运用。总结为：1．。

公式的变形

升幂公式三角函数正弦余弦公式，其一，1加上cos2α等于2倍的cos方α，其二，1减去cos2α等于2倍的sin方α。

（3）正切公式的变形出现如下情况。tanα加上tanβ等于tan(α + β)乘以（1减去tanαtanβ），以及tanα减去tanβ等于tan(α - β)乘以（1加上tanαtanβ）标点为句号。（4）存在这样的万能公式，其内容是用tanα来表示其他三角函数值。所以为句号。

2．

插入辅助角公式

3．

熟悉形式的变形（如何变形）

1加上或减去sinx，再加上或减去cosx，1加上或减去sinx，1加上或减去cosx，tanx加上cotx，1减去tanα1。

＋tanα

1＋tanα1－tanα

假设A、B属于锐角范畴，且A与B相加的和等于某个值，在此情况下，（1加上tanA）与（1加上tanB）相乘的结果等于2。

4． 在三角形中的结论（如何证明） A+B+Cπ

若：A＋B＋C=π =

tan tan ＋tan＋tantan＝1 222222

9．求值问题

（1）已知通过角来求具体值的题目 比如 像sin555°这种 （2）已知具体值去求相关值的问题 常常会运用拼角以及凑角来进行求解。

π3π35

如：1）已知若cos( －α)＝，＋β)＝

45413 π3ππ

34

啥呀这题，已知，正弦α加上正弦β等于，某一未知值，余弦α加上余弦β等于，另一未知值，然后求，余弦，括号，α减去β，的值，这咋算呀。

55（3）已知值求角问题

首先三角函数正弦余弦公式，要进行第一步，即去求出这个角的某一三角函数值，其次，第二步要去确定这个角的范围。 π11。

已知，正切值为某值的α，正切值为另一值的β，并且αβ二者皆为锐角，证明：α加上两倍的β等于某值。

7341.（2010全国卷1理）(2)，将记cos（?80?）的值设为k，之后求tan100?的值，那么tan100?的值该如何求解呢？

，化简：

lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)

?lg(1?sin2x).

22

解析，原式当中，有lg(sinx?cosx)，还有lg(cosx?sinx)，并且lg(sinx?cosx)2等于0，3.（2010天津文）（17）（本小题满分12分）

在?ABC中，

ACcosB

?。 ABcosC

（Ⅰ）证明B=C：

（Ⅱ）若cosA=-，求sin?4B???的值。

【解析】，本小题，主要考查，正弦定理，以及，两角和与差的正弦，还有，同角三角函数的基本关系，以及，二倍角的正弦与余弦，等基础知识，考查，基本运算能力，满分12分。

（Ⅰ）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得

sinBcosB

=.于是sinCcosC

由于sinBcosC减去cosBsinC等于0，也就是sin（B减C）等于0，鉴于B和C的某种关系，进而得出B减C等于0，所以B等于C。

第（Ⅱ）部分解答如下，鉴于A加B加C等于π以及第（Ⅰ）小问的结论，可知A等于π减去2B，所以cos2B等于负的cos（π减去2X）结果为负的cosA，因而等于。

又0

= 从而

sin4B=2sin2Bcos2B=

. 3

13

7，cos4B=cos22B?sin22B??.

99

所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin

4.（2010年湖北理科），16.（此小题满分为12分），已知有一个函数f(x)，它等于cos(?x)与cos(?x)相乘，还有一个函数g(x)，它等于sin2x减去。 （你后面内容没给完整，我只能先改写到这）

214

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)求解函数\(h(x)=f(x) - g(x)\)的最大值，并且求出使得\(h(x)\)获取到最大值时\(x\)的集合。

5.（2009江苏，15）设向量a为(4cos?,sin?)，设向量b为(sin?,4cos?)，设向量c为(cos??4sin?) ，（1）若向量a与向量b减去2倍向量c垂直，求tan(???)的值 ；（2）求向量b减去向量c的模的最大值。

（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.

剖析，本小题目主要是去对向量的基本概念予以考查，与此同时，还考查同角三角函数的基本关系式，也考查二倍角的正弦，以及两角和的正弦与余弦公式，并且考查运算以及证明的基本能力。

6.（2009年安徽卷理科）在三角形ABC当中，sin(C减A)等于1，sinB等于某个值。（I）求sinA的值。

(II)设

?ABC的面积.

本小题着重考查，三角恒等变换方面的知识，以及正弦定理方面的知识，还考查解三角形方面的知识，考查运算。

算求解能力。

你提供的内容可能存在一些错误或不清晰的地方，不太能准确理解完整意思并进行准确改写。请你检查或补充完整准确的内容后再要求改写。

0，∴sinA?

233

2?4B2?BB(cos)422

B2

ACBC

?（Ⅱ）如图，由正弦定理得

sinBsinA

A B

ACsinA

sinB

cosAsinB

33333

12

42

8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，

AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：

此小题着重考查正弦定理，以及余弦定理，还有同角三角函数的基本关系，以及二倍角的正弦与余弦，甚至两角差的正弦等基础知识，对基本运算能力予以考查，满分12分。

在三角形ABC当中，依据规定的正弦定理，由此得出这样的结果，等于sinC乘以BC，进而等于2乘以BC，最终等于2。

sinA

ABBC

sinCsinA

AB2?AC2?BD225

2AB?AC5

（Ⅱ）解：在三角形ABC当中，依据余弦定理来算，得出cosA等于，于是sinA等于，进而。

55

所以，sin(2A减去某个角度)等于sin 2A乘以cos该角度减去cos 2A乘以sin该角度，等于。

10

π4